Первая степень

Степень, ее свойства, возведение в степень


В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.


Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)5», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень


По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a, то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1.

Например, (−9)1=−9, а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом a0=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 50=1, (−2,56)0=1 и , а 00 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Действительно, . Например, 3−1=1/3, и .

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n-ой степени из числа a, после чего полученный результат возводится в целую степень m.

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0-4,3.

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 21,174367…. Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 21,17≈2,250116. Таким образом, 21,174367…≈21,17≈2,250116. Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

Профиль автора статьи в Google+

www.cleverstudents.ru

Сотни тысяч израильских студентов, обучающихся на первую степень, все сильнее ощущают, что они пребывают внутри замшелой системы, действующей на недостаточно высоком уровне, и эта система выпускает их на рынок труда мало подготовленными.

«Есть слишком много мест, где первая степень уже не является релевантной, — говорит председатель Союза студентов Гилад Ардити. – Все, что студенты делают за три года, можно проделать в более короткие сроки и получить тот же эффект. Наша система образования превратилась в систему, которая перерабатывает большие объемы информации, но не создает «добавочной стоимости»».

Именно любознательные люди двигают вперед человечество, и если в очень многих  молодых людях в Израиле гасят эту «искру любопытства», они перестают спрашивать «почему», они становятся менее активными и меньше интересуются происходящим вокруг. И соглашаются со всем, что встречается на их пути», — добавляет Ардити.

В свете всего этого Союз студентов инициировал создание комиссии специалистов по модернизации системы высшего образования. В ней участвует, среди прочих, директор Фонда Манделя в Израиле Моше Вигдор, который в прошлом был генеральным директором Совета по высшему образованию (СВО). Комиссия призвала систему высшего образования признать свою долю ответственности за рост неравенства в Израиле. Комиссия выработала рекомендации относительно шагов, которые нужно сделать для модернизации структуры обучения на первую степень, в том числе и в целях сокращения неравенства. Рекомендации были представлены СВО, и, как ожидается, они будут фигурировать при обсуждении новой долгосрочной программы, на ближайшие пять лет.

В отчете комиссии говорится, что «комиссия призывает систему высшего образования признать свою долю ответственности за существующую ситуацию в израильском обществе в плане неравенства возможностей. Система должна спросить саму себя: какова ее роль в государстве, где происходит процесс углубления и расширения социально-экономических разрывов».

По словам Вигдора, «невозможно согласиться с положением, когда студенты проводят долгое время, изучая технические дисциплины, а потом, когда они являются на свои рабочие места, им говорят: теперь забудьте все и начинайте учить то, что нужно на практике».

Ардити добавляет: «Проблема не только в том, что нет связи между академической сферой и бизнесом. Вся система высшего образования, все ее элементы – лекторы, регуляторы, сами студенты – пребывают в комфортных для них зонах. Возникает молчаливая «круговая порука», никто не бросает системе вызов, потому что все боятся перемен. Исходная точка и системы, и регуляторов: студентов всегда будет достаточно. Однако, если ситуация будет оставаться неизменной, все меньше людей будут вливаться в систему высшего образования, поскольку она будет утрачивать свой статус, и этот процесс уже начался».

По словам Ардити, в системе высшего образования понижают уровень и критерии, чтобы привлекать больше студентов.

«Абсурд заключается в том, что тот, кто заканчивает среднюю школу и переходит в высшую, делает шаг назад. Даже система школьного обучения развивалась быстрее, чем система высшего образования, и поступающий в колледж или университет может оказаться в более архаичной среде, нежели та, к которой он привык в школе. Когда мы были школьниками, нам говорили, что в «академии» мы прекратим зубрить материал и начнем учиться по-настоящему, но на практике так бывает далеко не всегда».

Члены комиссии рекомендуют разработать механизм, который позволил бы студентам получать первую степень за два года (вместо общепринятых сегодня трех лет) при помощи интенсивных занятий и без сокращения программы обучения.

Еще одна рекомендация – добавить к занятиям на первую степень курсы в формате «активного обучения» студентов, что позволит им получать практические навыки и дополнительные зачетные баллы. Кроме того рекомендовано позволить лекторам использовать экспериментальные методы обучения и оценки — за специальное вознаграждение.

Ардити говорит: «Студенты особенно заинтересованы в этих изменениях. Мы вполне понимаем весомость тех 10.5 млрд. шек., которые государство вкладывает в систему высшего образования за годы, что мы находимся в ней. Мы не можем сказать: отлично, проведем здесь время, получим степень – и все. Нужно двигать систему вперед».

«Есть те, кто говорят: “Мы делали все, что нам предписывали, посещали занятия, получили степень —  и вот, зарабатываем 6,000 шек. в месяц.” Этот момент нужно рассмотреть глубже. Академическая система – это главный инструмент социальной политики, и следует подумать, как с его помощью положить конец продуцированию современных «каст»», — говорит Вигдор.

«В нынешней израильской действительности система способна на большее, чем простая передача знаний, она может способствовать уменьшению неравенства, — добавляет он. – Высшая школа может стать одним из средств достижения этой цели. У израильских университетов есть особая ответственность по отношению к периферии, к меньшинствам и к ультрарелигиозному сектору. Сегодня первая степень – инструмент социальной мобильности, она помогает тем, кто ее получил. Вопрос в том, какова степень релевантности этой степени для общества в целом».

Самая существенная рекомендация в плане сокращения неравенства – создание многолетней программы распространения высшего образования на периферии. Предлагается прежде всего провести исследование, которое дало бы актуальную и точную картину недостаточной включенности представителей меньшинств и периферии в систему высшего образования, а также «карту» их нужд и потребностей.

Комиссия рекомендует рассмотреть альтернативы психометрическому экзамену, который, как многие полагают, ухудшает шансы учеников, не могущих позволить себе курсы подготовки, или тех, для кого иврит не родной язык. «На результаты испытаний такого рода сильно влияют финансовые ресурсы испытуемых или их принадлежность к центру или периферии. Системе высшего образования очень нужен механизм классификации, который распознавал бы потенциал развития кандидата, а не сосредоточивался бы только на достижениях».

Кроме того, комиссия рекомендует создать субсидированную сеть подготовительных научных курсов («мехинот»), на которых смогут обучаться кандидаты, еще не «созревшие» для приема в систему высшего образования на престижные направления, однако обладающие потенциалом для этого. Согласно предложениям комиссии, на этих подготовительных курсах предпочтение должно отдаваться молодежи из городов развития и с периферии. В дополнение к этому комиссия рекомендует создавать в районах с малым доступом к высшему образованию семинары, которые позволят студентам из этих мест приобретать академические навыки, помогающие им при обучении на степень.

Составители отчета резко критикуют устаревшую систему преподавания в колледжах и университетах и пишут: «Одна лишь передача знаний не расширяет в достаточной степени человеческий интеллект. В настоящее время высшая школа продолжает придерживаться методов преподавания, существующих испокон веков. И это в противоположность радикальным изменениям, которые происходят во всех жизненных сферах».

«Приверженность традиционным методам преподавания усиливает разрыв между дисциплинами и навыками, изучаемыми в процессе обретения степени, и теми, которые востребованы на рынке занятости после окончания обучения. Это затрудняет трудоустройство выпускников».

«Слишком многие студенты в процессе обучения на первую степень теряют мотивацию, потому что система тянет их вниз и поощряет посредственность, — утверждает Ардити. – Они понимают, что главное – получить диплом, и начинают играть «по правилам». Чтобы вернуть им заинтересованность, нужно перестать угождать им и начать руководить. Руководство в высшей школе – это не только сбор пожертвований, но и указание правильного пути студентам».

По словам Ардити, «в системе высшего образования сейчас находится 300 тыс. студентов, и ясно, что не все смогут сделаться исследователями в академической сфере, потому что большинство выйдет на рынок труда. Но системе это не до конца ясно, и она по-прежнему ставит себе целью подготовить всех к научному исследованию. Очень часто студентам «продают» иллюзию: приходите к нам учиться – и работа вам обеспечена. Истина, однако, в том, что совсем не обязательно здесь есть прямая связь, и им часто приходится испытывать разочарование. Трудно получить место, не имея опыта, и поэтому многие студенты начинают работать уже на втором году обучения. Рынок труда «сигнализирует» высшей школе, что мир за ее пределами устроен по-другому.

«Нам все время объясняют, что система высшего образования должна концентрироваться на исследованиях, потому что она призвана изменить человечество, однако нельзя сказать, что в конечном итоге самое важное – обучить всех статистике, чтобы подготовить их к исследовательской работе. Нужно понять, какие именно способности и навыки система высшего образования должна дать в каждой из областей знания, чтобы выпустить на рынок труда людей с набором возможностей, соответствующих требованиям 21-го века. Это не менее важно», — говорит Ардити.

Вигдор объясняет, что «нужно дать студентам навыки мышления, улучшить их способности чтения, письма и самовыражения, чтобы они смогли правильнее функционировать в рамках общества. Я не уверен, что сегодня они это получают». По его словам, одна из рекомендаций состоит в углубленном изучении гуманитарных дисциплин и ценностей на всех факультетах. «Гуманитарные предметы придают жизни смысл и помогают развивать мышление», — говорит он.

Оригинал статьи в издании The Marker

 

relevantinfo.co.il

1. этому же числу. Нулевая степень любого числа =1, первая — этому же числу, вторая — этому же числу, умноженному на себя 1 раз и т.д.

2. Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований pn · qn =(p · q)n

3. Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями всегда можно представить в виде степени с основанием х. По определению степени х7 есть произведение семи множителей, каждый из которых равен х, а х9 – произведение девяти таких же множителей. Следовательно, х7 · х9 равно произведению 7 + 9 множителей. Каждый из которых равен х, то есть х7 · х9 = х7+9 = х16

Получается, если основание степени а – произвольное число, а m и n – любые натуральные числа, то верно равенство: am · an = am+n

4. Пусть у нас есть число  3. Умножим его само на себя, например, 4 раза: 3*3*3*3. Говорят, что его возвели в четвертую степень, и для сокращения записи записывают вот так:  34 = 81 . Число  3 называется основанием  степени, а  4  — показателем. Что означает вот такая запись:  2-3 Это значит, что двойка в третей (уже без минуса) степени стоит в знаменателе, т.е. отрицательные степени переворачивают дробь. Другими словами отрицательная степень делает вот так:  2-3 =1/ 23 если мы переносим степень из числителя в знаменатель или наоборот, то следует поменять знак показателя степени на противоположный. Возведение степени в степень При возведении степени в степень показатели перемножаются: (ab)c = abc  Продолжая наш пример, получим, что результирующей степенью двойки будет произведение двух показателей, т.е. 3 * 4 = 12. Тогда получим:  (23)4 =  212

yroky.net

Первые признаки остеопороза

Остеопороз принято называть «молчаливой болезнью». Основной причиной такого необычного названия является течение его клинической картины. Как правило, остеопороз протекает незаметно для пациента и его первым признаком является перелом кости. Зачастую нарушение ее целостности наблюдается в лучевой и локтевой костях, наиболее травматическим участком также считается шейка бедра.

Врач для остеопорозаПрочитайте, какой врач нужен для лечения остеопороза, к кому первому стоит обратиться за помощью.

Узнайте, как лечить остеопороз в домашних условиях, чтобы не навредить себе.

Причиной перелома при остеопорозе могут быть даже незначительные механические воздействия, к примеру, падение во время ходьбы, езда по неровной дороге, подъем тяжести и т. д. У некоторых пациентов перелом кости происходил по причине изменения положения тела.

Единственным косвенным признаком развития заболевания является уменьшение роста. Как правило, этот симптом незаметен из-за того, что высота человека уменьшается не более чем на 1—1,5 см. Также может наблюдаться укорочение грудной области, поэтому в некоторых ситуациях пожилые люди могут казаться длиннорукими. В результате такой деформации формируется выраженное искривление позвоночного столба. На костях конечностей данное заболевание проявляется лишь в виде переломов.

Первая степень

На данной стадии заболевание не имеет каких-либо внешних проявлений, а изменения в структуре самой кости можно выявить лишь после проведения специальной диагностики плотности кости. Главными признаками, которые говорят о снижении количественного содержания кальция в костной ткани, является ломкость волос и ногтей, потеря волосами блеска и их выпадение, сухость кожи и ее шелушение. Остеопороз 1 степени отлично поддается лечению.

Вторая степень

На 2 стадии заболевания постепенно снижается плотность костной ткани. Дегенеративные процессы распространяются диффузно (см. Диффузный остеопороз). Первые проявления остеопороза, как правило, определяются в одной области скелета или кости. При второй степени пациент может чувствовать боль во время сна из-за неправильного положения, во время ходьбы и длительного пребывания в горизонтальном положении. Остеопороз тазобедренного сустава 2 степени является основной причиной боли во время ходьбы.

Судороги являются основным проявлением нехватки кальция наряду с изменениями в работе сердца и частыми приступами тахикардии при остеопорозе 2 степени.

Третья степень

На данной стадии заболевания наиболее заметными становятся проблемы с костной системой. Дело в том, что при проведении рентгенограммы определяются четкие изменения в костях позвоночного столба. Костные ткани теряют четкие очертания, а на снимке появляется значительное количество просветлений, которые являются следствием деминерализации в определенных участках кости. Проведение ультразвукового или рентгеновского исследования плотности кости является достоверным способом подтверждения диагноза (см. Денситометрия).

Склерозирование замыкательных пластинокОзнакомьтесь с причинами остеосклероза, как проявляется поражение различных отделов позвоночника.

Узнайте, что такое склероз замыкательных пластинок, какие у него симптомы.

Прочитайте об остеопении поясничного отдела позвоночника, ее причинах и лечении.

Остеопороз 3 степени характеризуется значительным расширением костномозговой полости. Позвонки меняют свою форму, уплощаются, их высота снижается — основная причина уменьшения роста пациентов. На данной стадии позвонки принимают клиновидную форму, из-за чего врачи называют их «рыбьими».

К внешним проявлениям также можно отнести болезненные ощущения в области крестца. Эти боли не проходят во время отдыха и их невозможно устранить с помощью болеутоляющих средств. При третьей степени остеопороза значительно увеличивается шанс произвольного перелома ключиц, лучевой, локтевой костей и шейки бедра.

Четвертая степень

Эта стадия является завершающей во всей клинической картине остеопороза. При проведении рентгенограммы участки просветления на кости становятся настолько прозрачными, будто у пациента вовсе нет кости. Трабекулы становятся более заметными, они образовываются за счет включения компенсаторных механизмов. Скелет стремительно деформируется, а рост пациента уменьшается более чем на 10 см.

При 4 степени остеопороза толщина компактного слоя костной ткани значительно уменьшается, а канал, в котором располагается костный мозг, напротив, расширяется вдвое. Форма костей изменяется и происходит их стремительная деминерализация. У этих пациентов довольно часто случаются самопроизвольные переломы из-за незначительного воздействия на костную ткань, такие травмы лечатся годами.

Внимание! Женщинам в возрасте 50+ и мужчинам 55+ нужно систематически проходить медицинское обследование, которое будет включать в себя исследование плотности кости.

Эффективность назначенной терапии и предотвращение прогрессирование заболевание зависит от своевременности выявления патологии (см. Бисфосфонаты). На сегодняшний день медики в своем арсенале имеют достаточное количество методик, которые помогают не только вовремя выявить остеопороз на начальной стадии, но и предотвратить дальнейшее уменьшение плотности костей.

Главное — помнить, что лица пожилого возраста и пациенты с предрасположенностью к развитию остеопороза должны ежегодно проходить ультразвуковую денситометрию для определения плотности кости и, при необходимости, ее корректировки.

vashpozvonok.ru