Первая степень

Степень, ее свойства, возведение в степень


В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.


Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)5», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень



По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например,


, либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a, то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1.

Например, (−9)1=−9, а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом a0=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 50=1, (−2,56)0=1 и


, а 00 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Действительно, . Например, 3−1=1/3, и .

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что


, где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n-ой степени из числа a, после чего полученный результат возводится в целую степень m.

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при


имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0-4,3.

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем


. Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 21,174367…. Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 21,17≈2,250116. Таким образом, 21,174367…≈21,17≈2,250116. Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

Некогда разбираться?

Закажите решение

www.cleverstudents.ru

Первые признаки остеопороза

Остеопороз принято называть «молчаливой болезнью». Основной причиной такого необычного названия является течение его клинической картины. Как правило, остеопороз протекает незаметно для пациента и его первым признаком является перелом кости. Зачастую нарушение ее целостности наблюдается в лучевой и локтевой костях, наиболее травматическим участком также считается шейка бедра.


Врач для остеопорозаПрочитайте, какой врач нужен для лечения остеопороза, к кому первому стоит обратиться за помощью.

Узнайте, как лечить остеопороз в домашних условиях, чтобы не навредить себе.

Причиной перелома при остеопорозе могут быть даже незначительные механические воздействия, к примеру, падение во время ходьбы, езда по неровной дороге, подъем тяжести и т. д. У некоторых пациентов перелом кости происходил по причине изменения положения тела.

Единственным косвенным признаком развития заболевания является уменьшение роста. Как правило, этот симптом незаметен из-за того, что высота человека уменьшается не более чем на 1—1,5 см. Также может наблюдаться укорочение грудной области, поэтому в некоторых ситуациях пожилые люди могут казаться длиннорукими. В результате такой деформации формируется выраженное искривление позвоночного столба. На костях конечностей данное заболевание проявляется лишь в виде переломов.

Первая степень


На данной стадии заболевание не имеет каких-либо внешних проявлений, а изменения в структуре самой кости можно выявить лишь после проведения специальной диагностики плотности кости. Главными признаками, которые говорят о снижении количественного содержания кальция в костной ткани, является ломкость волос и ногтей, потеря волосами блеска и их выпадение, сухость кожи и ее шелушение. Остеопороз 1 степени отлично поддается лечению.

Вторая степень

На 2 стадии заболевания постепенно снижается плотность костной ткани. Дегенеративные процессы распространяются диффузно (см. Диффузный остеопороз). Первые проявления остеопороза, как правило, определяются в одной области скелета или кости. При второй степени пациент может чувствовать боль во время сна из-за неправильного положения, во время ходьбы и длительного пребывания в горизонтальном положении. Остеопороз тазобедренного сустава 2 степени является основной причиной боли во время ходьбы.

Судороги являются основным проявлением нехватки кальция наряду с изменениями в работе сердца и частыми приступами тахикардии при остеопорозе 2 степени.

Третья степень

На данной стадии заболевания наиболее заметными становятся проблемы с костной системой. Дело в том, что при проведении рентгенограммы определяются четкие изменения в костях позвоночного столба. Костные ткани теряют четкие очертания, а на снимке появляется значительное количество просветлений, которые являются следствием деминерализации в определенных участках кости. Проведение ультразвукового или рентгеновского исследования плотности кости является достоверным способом подтверждения диагноза (см. Денситометрия).


Склерозирование замыкательных пластинокОзнакомьтесь с причинами остеосклероза, как проявляется поражение различных отделов позвоночника.

Узнайте, что такое склероз замыкательных пластинок, какие у него симптомы.

Прочитайте об остеопении поясничного отдела позвоночника, ее причинах и лечении.

Остеопороз 3 степени характеризуется значительным расширением костномозговой полости. Позвонки меняют свою форму, уплощаются, их высота снижается — основная причина уменьшения роста пациентов. На данной стадии позвонки принимают клиновидную форму, из-за чего врачи называют их «рыбьими».

К внешним проявлениям также можно отнести болезненные ощущения в области крестца. Эти боли не проходят во время отдыха и их невозможно устранить с помощью болеутоляющих средств. При третьей степени остеопороза значительно увеличивается шанс произвольного перелома ключиц, лучевой, локтевой костей и шейки бедра.

Четвертая степень


Эта стадия является завершающей во всей клинической картине остеопороза. При проведении рентгенограммы участки просветления на кости становятся настолько прозрачными, будто у пациента вовсе нет кости. Трабекулы становятся более заметными, они образовываются за счет включения компенсаторных механизмов. Скелет стремительно деформируется, а рост пациента уменьшается более чем на 10 см.

При 4 степени остеопороза толщина компактного слоя костной ткани значительно уменьшается, а канал, в котором располагается костный мозг, напротив, расширяется вдвое. Форма костей изменяется и происходит их стремительная деминерализация. У этих пациентов довольно часто случаются самопроизвольные переломы из-за незначительного воздействия на костную ткань, такие травмы лечатся годами.

Внимание! Женщинам в возрасте 50+ и мужчинам 55+ нужно систематически проходить медицинское обследование, которое будет включать в себя исследование плотности кости.

Эффективность назначенной терапии и предотвращение прогрессирование заболевание зависит от своевременности выявления патологии (см. Бисфосфонаты). На сегодняшний день медики в своем арсенале имеют достаточное количество методик, которые помогают не только вовремя выявить остеопороз на начальной стадии, но и предотвратить дальнейшее уменьшение плотности костей.

Главное — помнить, что лица пожилого возраста и пациенты с предрасположенностью к развитию остеопороза должны ежегодно проходить ультразвуковую денситометрию для определения плотности кости и, при необходимости, ее корректировки.

vashpozvonok.ru

1. этому же числу. Нулевая степень любого числа =1, первая — этому же числу, вторая — этому же числу, умноженному на себя 1 раз и т.д.

2. Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований pn · qn =(p · q)n

3. Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями всегда можно представить в виде степени с основанием х. По определению степени х7 есть произведение семи множителей, каждый из которых равен х, а х9 – произведение девяти таких же множителей. Следовательно, х7 · х9 равно произведению 7 + 9 множителей. Каждый из которых равен х, то есть х7 · х9 = х7+9 = х16

Получается, если основание степени а – произвольное число, а m и n – любые натуральные числа, то верно равенство: am · an = am+n

4. Пусть у нас есть число  3. Умножим его само на себя, например, 4 раза: 3*3*3*3. Говорят, что его возвели в четвертую степень, и для сокращения записи записывают вот так:  34 = 81 . Число  3 называется основанием  степени, а  4  — показателем. Что означает вот такая запись:  2-3 Это значит, что двойка в третей (уже без минуса) степени стоит в знаменателе, т.е. отрицательные степени переворачивают дробь. Другими словами отрицательная степень делает вот так:  2-3 =1/ 23 если мы переносим степень из числителя в знаменатель или наоборот, то следует поменять знак показателя степени на противоположный. Возведение степени в степень При возведении степени в степень показатели перемножаются: (ab)c = abc  Продолжая наш пример, получим, что результирующей степенью двойки будет произведение двух показателей, т.е. 3 * 4 = 12. Тогда получим:  (23)4 =  212

yroky.net