Вторая степень
• вторая степень числа
• выродок среди прямоугольников
• геометрическая фигура
• лошадь века, жеребец рысистой породы, знаменитый конь-рекордист, которому поставлен памятник в России
• название офицерского знака различия на петлицах в Красной Армии до 1943 года
• произведение числа на самого себя
• равносторонний прямоугольник
• четыре для двух
• советская дворовая игра с мячом для четырех человек
• четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами
• фильм Юрия Мороза «Черный …»
• повесть российского писателя А. Г. Адамова «… сложности»
• скажите по-латински «четырехугольный»
• символ, которым на магнитофоне изображается клавиша «СТОП»
• шахматная клетка по форме
• выпрямленный ромб
• перемноженное число
• «остепеняющая» двойка
• черная фигура Малевича
• промежуток в строках
• фигура Малевича
• черный на полотне Малевича
• черный у Малевича
• правильная фигура
• прямоугольник
• геометрическая фигура Малевича
• черная геометрическая фигура Малевича
• форма сиденья табуретки
• черное творение Малевича
• черное пятно в биографии Малевича
• куб, попавший под каток
• символ клавиши «Стоп»
• малевич прославился, закрасив его черным
• у Малевича он черного цвета
• фигура в геометрии
• проекция куба на плоскость
• черная фигура, прославившая Малевича
• «второстепенная» геометрическая фигура
• у Малевича он черный
• «черный …» (шедевр Малевича)
• форма грани куба
• Равносторонний прямоугольник
• Вторая степень числа
• «Чёрный …» (шедевр Малевича)
• «Второстепенная» геометрическая фигура
• «Остепеняющая» двойка
• «Черный …» (шедевр Малевича)
• м. равносторонний и прямоугольный четыреугольник; народ называет его круглым четыреугольником или клеткою. Разбить площадь на квадраты, на участки этого вида. Квадрат числа, произведение его от умножения самого на себя.
ор квадратцами или квадратиками, в мелких прямых четвероугольничках. Квадратный, имеющий вид квадрата, четверосторонний, и притом с равными сторонами и углами; умноженный сам на себя. Четыре есть квадратное число или величина двух; а два будет квадратный корень четырех. Городничий донес, что квадратной сажени, для измерения площади, при полиции не оказалось. Квадратать, делить площадь на квадраты; делать (чертить, резать) квадраты; брать квадрат числа, умножать его собою. Квадратура ж. поверхность всякой геометрической фигуры, обращенная в равный ей квадрат. Квадратура круга, задача доселе не разгаданная. Астроном. отстояние планет и луны от солнца на четверть круга, на
• повесть российского писателя А. Г. Адамова «… сложности»
• символ клавиши «Стоп»
• символ, которым на магнитофоне изображается клавиша «СТОП»
• скажите по-латински «четырехугольный»
• фильм Юрия Мороза «Черный …»
• «Чёрный» у Малевича
scanwordhelper.ru
Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа
Для начала дадим определение степени числа с натуральным показателем. Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для действительного числа a, которое будем называть основанием степени, и натурального числа n, которое будем называть показателем степени. Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.
Из данного определения понятно, что с помощью степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 8·8·8·8 можно записать как степень 84. Это аналогично тому, как с помощью произведения записывается сумма одинаковых слагаемых, к примеру, 8+8+8+8=8·4 (смотрите статью общее представление об умножении натуральных чисел).
Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи an таков: «a в степени n». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n-ой степени» и «n-ая степень числа a». Для примера возьмем степень 812, это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».
Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 72 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 53 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5».
Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями. Начнем со степени 57, здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: десятичная дробь 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32)9.
Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2)3 и −23. Выражение (−2)3 – это степень отрицательного числа −2 с натуральным показателем 3, а выражение −23 (его можно записать как −(23)) соответствует числу, противоположному значению степени 23.
Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n. При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 49. А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^»: 14^(21), (−2,1)^(155). В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида an.
Данное выше определение позволяет находить значение степени с натуральным показателем. Для этого нужно вычислить произведение n одинаковых множителей, равных a. Эта тема заслуживает детального рассмотрения в отдельной статье – смотрите возведение в степень с натуральным показателем.
Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к понятию корня из числа.
Также стоит изучить свойства степени с натуральным показателем, которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.
Степень с целым показателем
После того как мы определили степень числа a с натуральным показателем, возникает логичное стремление расширить понятие степени и перейти к степени числа, показателем которой будет любое целое число, в том числе и отрицательное и нуль. Это следует делать так, чтобы оставались справедливыми все свойства степени с натуральным показателем, так как натуральные числа являются частью целых чисел.
Степень числа a с целым положительным показателем есть не что иное как степень числа a с натуральным показателем: , где n — целое положительное число.
Теперь определим нулевую степень числа a. Будем исходить из свойства частного степеней с одинаковыми основаниями: для натуральных чисел m и n, m<n и отличного от нуля действительного числа a выполняется равенство am:an=am−n (условие a≠0 необходимо, так как в противном случае мы бы имели деление на нуль). При m=n записанное равенство нас приводит к следующему результату an:an=an−n=a0. Но с другой стороны an:an=1 как частное равных чисел an и an. Следовательно, приходится принять a0=1 для любого отличного от нуля действительного числа a.
А как же быть с нулем в нулевой степени? Подход, примененный в предыдущем абзаце, не подходит для этого случая. Можно вспомнить про свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями am·an=am+n, в частности при n=0 имеем am·a0=am (из этого равенства тоже видно, что a0=1). Однако, при a=0 мы получим равенство 0m·00=0m, которое можно переписать как 0=0, оно верно при любом натуральном m вне зависимости от того, чему равно значение выражения 00. Иными словами, 00 может быть равно любому числу. Чтобы избежать этой многозначности, не будем приписывать нулю в степени нуль никакого смысла (по этим же соображениям при изучении деления мы не стали придавать смысл выражению 0:0).
Несложно проверить, что принятое нами равенство a0=1 для отличных от нуля чисел a согласуется со свойством степени в степени (am)n=am·n. Действительно, при n=0 имеем (am)0=1 и am·0=a0=1, а при m=0 имеем (a0)n=1n=1 и a0·n=a0=1.
Так мы пришли к определению степени с нулевым показателем. Степень числа a с нулевым показателем (a отличное от нуля действительное число) равна единице, то есть, a0=1 при a≠0.
Приведем примеры: 50=1, (33,3)0=1, , а 00 – не определено.
Нулевую степень числа a определили, осталось определить целую отрицательную степень числа a. В этом нам поможет все то же свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями am·an=am+n. Примем m=−n, что требует условия a≠0, тогда a−n·an=a−n+n=a0=1, откуда заключаем, что an и a−n – взаимно обратные числа. Таким образом, логично определить число a в целой отрицательной степени −n как дробь
. Несложно проверить, что при таком задании степени отличного от нуля числа a с целым отрицательным показателем остаются справедливыми все свойства степени с натуральным показателем (смотрите свойства степени с целым показателем), к чему мы и стремились.
Озвучим определение степени с целым отрицательным показателем. Степень числа a с целым отрицательным показателем −n (a отличное от нуля действительное число) – это есть дробь , то есть, при a≠0 и натуральном n.
Рассмотрим данное определение степени с целым отрицательным показателем на конкретных примерах: .
Подытожим информацию этого пункта.
Степень с рациональным показателем
От целых показателей степени числа a напрашивается переход к рациональным показателем. Ниже мы определим степень с рациональным показателем, причем будем это делать так, чтобы сохранялись все свойства степени с целым показателем. Это необходимо, так как целые числа являются частью рациональных чисел.
Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n, где m – целое число, а n — натуральное. Сделаем это.
Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили корень n-ой степени, то логично принять при условии, что при данных m, n и a выражение имеет смысл.
Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).
Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод: если при данных m, n и a выражение
имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n-ой степени из a в степени m.
Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m, n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m, n и a существуют два основных подхода.
-
Проще всего наложить ограничение на a, приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.
Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.
Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0. Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.
-
Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a, показателем которой является сократимая обыкновенная дробь, считается степенью числа a, показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .
При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).
Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.
Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n, то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5, то должно выполняться равенство , но , а .
Заметим, что первое определение степени с дробным показателем удобнее в применении, чем второе. Поэтому мы в дальнейшем будем использовать именно его.
Итак,
В заключение этого пункта обратим внимание на то, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, например, . Для вычисления значений выражений подобного вида нужно показатель степени записать в виде обыкновенной дроби, после чего воспользоваться определением степени с дробным показателем. Для указанных примеров имеем и .
www.cleverstudents.ru